درسنامه آموزشی فصل هشتم ریاضی کلاس هشتم
درس 2: میانگین دادهها
فعّالیت (صفحهٔ 124 کتاب درسی)
1- نمرههای ریاضی یک دانش آموز 17 ، 18 ، 15 ، 17 و 19 است. میانگین نمرههای او را حساب کنید.
$\overline{x}=\frac{S}{n}$ یا به صورت جبری
$17+18+15+17+19=86$
$=\frac{86}{5}=17/2$ میانگین
2- نمرههای یک دانش آموز به صورت زیر است:
| 17/5 | 16/5 | 14 | 18/5 | 19 | 17 | 15 | 16 | 15/5 | 16 | |
| 1 | میانگین | 2/5 | 2 | 2/5 | 0/5 | 1/5 | 0/5 | 1 | 0/5 | اختلاف با میانگین |
میانگین نمرههای او را پیدا کنید. چند نمره بالاتر از میانگین و چند نمره پایینتر از میانگین قرار میگیرند؟ 4 نمره بالاتر و 5 نمره پایینتر از میانگین است.
آیا این دو تعداد مساوی است؟ خیر
$16+15/5+16+15+17+19+18/5+14+16/5+17/5=165$
$=\frac{165}{10}=16/5$ میانگین
اختلاف نمرههای بالای میانگین را با میانگین حساب کنید. حاصل جمع آنها را پیدا کنید؛ به همین ترتیب، مجموع اختلاف نمرههای پایینتر از میانگین با میانگین را هم پیدا کنید. نتایج بالا را با هم مقایسه کنید.
$0/5+2/5+2+1=6$ مجموع اختلاف نمرههای بالاتر از میانگین با میانگین
$0/5+1+0/5+1/5+2/5=6$ مجموع اختلاف نمرههای پایینتر از میانگین با میانگین
مجموع اختلاف نمرههای بالاتر از میانگین با میانگین و نمرات کوچکتر از میانگین با میانگین برابرند.
3- میانگین نمرههای 7 درس یک دانش آموز 16/5 است. اگر نمرههای دو درس دیگر او، که 17 و 15 است به این دادهها اضافه شود، میانگین جدید را پیدا کنید.
مجموع نمرات 7 درس $16/5\times 7=115/5$
مجموع نمرات 9 درس $115/5+17+15=147/5$
$=\frac{147/5}{9}=16/38$ میانگین 9 درس
آیا میتوان میانگین دو نمرهٔ 15 و 17 را پیدا کرد (16 میشود) و سپس میانگین 16 و 16/5 را حساب کرد؟ چرا؟ خیر
$16+16/5=32/5$
$=\frac{32/5}{2}=16/25$ میانگین
4- میانگین نمرههای زیر را به دست آورید. بین این عددها چه رابطهای وجود دارد؟
فاصلهٔ هر عدد تا میانگین چقدر است؟
چون مجموع اختلافهای عددهای سمت راست و چپ عدد وسط با هم برابرند پس عدد وسط همان میانگین است.
$11+12+12+13+13+13+14+14+15=117$
$=\frac{117}{9}=13$ میانگین
کار در کلاس (صفحهٔ 125 کتاب درسی)
با توجه به رابطهای که پیدا کردهاید، میانگین عددهای زیر را به دست آورید.
16 13 17 20 12 15 11 14 17
ابتدا اعداد را از کوچک به بزرگ مرتب میکنیم.
پس عدد وسطی همان میانگین است.
فعّالیت (صفحهٔ 125 کتاب درسی)
1- به کمک ماشین حساب، میانگین قد 40 نفر را که در درس قبل مطرح شده است، پیدا کنید.
$=\frac{6679}{40}=166/9$ میانگین
2- برای به دست آوردن مرکز دستهای مانند دستهٔ $130\le x<145$، ابتدا مجموع عددهای 130 و 145 را به دست میآوریم و سپس، حاصل را بر ٢ تقسیم میکنیم.
$=\frac{130+145}{2}=137/5$ مرکز دسته
3- اکنون تمام دادهها را در این قسمت میبینید. مرکز هر دسته را به جای دادههای آن دسته قرار دهید؛ برای مثال، چون عدد 192 در دستهٔ $190\le x\le 205$ قرار دارد به جای آن عدد 197/5 را، که مرکز این دسته است، قرار دهید.
$=\frac{130+145}{2}=137/5$ مرکز دسته
$\frac{160+175}{2}=167/5$
$\frac{190+205}{2}=197/5$
$\frac{145+160}{2}=152/5$
$\frac{175+190}{2}=182/5$
4- چرا در عددهای تغییر یافته 197/5 وجود دارد؟ زیرا فراوانی این دسته 4 تاست.
5- با توجه به عددهای بالا، میانگین ٤٠ عدد جدید را پیدا کنید.
چگونه برای پیدا کردن مجموع دادهها از ضرب استفاده میکنید؟ این ضربها چه رابطهای با فراوانیهای جدول دارند؟
$=\frac{6685}{40}=167/125$ میانگین جدید
فراوانی هر دسته را در در مرکز دسته ضرب میکنیم.
6- میانگین به دست آمده را با میانگین واقعی، که با ماشین حساب پیدا کردید، مقایسه کنید.
مقدار خطای این روش چقدر است؟
$=\frac{6685}{40}=167/1$ میانگین جدید
$=\frac{6679}{40}=166/9$ میانگین قبلی
چون مقدار خطا بسیار ناچیز است (حدود 0/2) میتوان برای به دست آوردن میانگین از روش جدید استفاده کرد.
هرچه طول دسته کوچکتر باشد این اختلاف کمتر و دقیقتر میشود.
کار در کلاس (صفحهٔ 126 کتاب درسی)
با توجه به فعّالیت صفحهٔ قبل با کامل کردن جدول زیر، میانگین دادهها را دوباره محاسبه کنید.
| مرکز دسته × فراوانی | مرکز دسته | فراوانی | حدود دستهها |
| $5\times 137/5=687/5$ | $\frac{130+145}{2}=137/5$ | 5 | $130\le x<145$ |
| $7\times 152/5=1067/5$ | $\frac{145+160}{2}=152/5$ | 7 | $145\le x<160$ |
| $16\times 167/5=2680$ | $\frac{160+175}{2}=167/5$ | 16 | $160\le x<175$ |
| $8\times 182/5=1460$ | $\frac{175+190}{2}=182/5$ | 8 | $175\le x<190$ |
| $4\times 197/5=790$ | $\frac{190+205}{2}=197/5$ | 4 | $190\le x\le 205$ |
| 6685 | 40 | مجموع |
$=\frac{6685}{40}=167/125$ میانگین
تمرین (صفحهٔ 126 کتاب درسی)
1- میانگین دمای هوا مربوط به کار در کلاس صفحهٔ 122 و میانگین ساعتهای عمر لامپ مربوط به تمرین ١ صفحهٔ ١٢٣ را به دست آورید. از جدول فراوانی استفاده کنید.
| مرکز دسته × فراوانی | مرکز دسته | فراوانی | حدود دستهها |
| $5\times -6=-30$ | 6- | 5 | $-8\le x<-4$ |
| $11\times -2=-22$ | 2- | 11 | $-4\le x<0$ |
| $17\times 2=34$ | 2 | 17 | $0\le x<+4$ |
| $12\times 6=72$ | 6 | 12 |
$+4\le x\le +8$ |
| 54 | 36 | جمع |
$=\frac{54}{36}=1/5$ میانگین جدید
| مرکز دسته × فراوانی | مرکز دسته | فراوانی | حدود دستهها |
| $4\times 154=616$ | 154 | 4 | $152\le x<156$ |
| $11\times 158=1738$ | 158 | 11 | $156\le x<160$ |
| $5\times 162=810$ | 162 | 5 | $160\le x<164$ |
| $3\times 166=498$ | 166 | 3 | $164\le x<168$ |
| $7\times 170=1190$ | 170 | 7 | $168\le x\le 172$ |
| 4852 | 30 | مجموع |
$=\frac{4852}{30}=161/73$ میانگین جدید
2- جدول زیر را کامل و میانگین را حساب کنید.
| مرکز دسته × فراوانی | مرکز دسته | فراوانی | خط نشان | دستهها |
| $6\times 2=12$ | 2 | 6 |
|
$0\le x<4$ |
| $4\times 6=24$ | 6 | 4 |
|
$4\le x<8$ |
| $8\times 10=80$ | 10 | 8 |
|
$8\le x<12$ |
| $17\times 14=238$ | 14 | 17 |
|
$12\le x<16$ |
| $9\times 18=162$ | 18 | 9 |
|
$16\le x\le 20$ |
| 516 | 44 | جمع |
$=\frac{516}{44}=11/72$ میانگین تقریبی
3- میانگین نمرههای ریاضی دانش آموزان یک کلاس 30 نفره 17/25 شده است. یکی از دانش آموزان در این امتحان نمرهٔ 3/5 گرفته است؛ در حالی که بقیهٔ آنها نمرهٔ بالای 15 گرفتهاند.
الف) اگر نمره این دانش آموز را از کلاس کنار بگذاریم، حدس میزنید معدل کلاس کمتر میشود یا بیشتر؟ حال با محاسبهٔ معدل کلاس پس از حذف نمرهٔ این دانش آموز حدس خود را بررسی کنید.
$17/25\times 30=517/5$ مجموع نمرات 30 نفر
$517/5-3/5=514$ مجموع نمرات 29 نفر
$\frac{514}{29}=17/72$ میانگین 29 نفر
دادههایی که فاصله زیادی با عددهای دیگر دارند با حذف آنها معدل تغییر زیادی خواهد کرد.
ب) حالا فرض کنید همهٔ دانش آموزان کلاس نمرهٔ کمتر از 14 گرفتهاند؛ به جز یک نفر که 20 گرفته است، معدل این کلاس 30 نفره 10/25 شده است. اگر دانش آموزی را که نمرهٔ ٢٠ گرفته است کنار بگذاریم، حدس میزنید معدل کلاس کمتر میشود یا بیشتر. معدل کلاس پس از حذف نمرهٔ این دانش آموز را به دست آورید و حدس خود را بررسی کنید.
$10/25\times 30=307/5$ مجموع نمرات 30 نفر
$307/5/5-20=287/5$ مجموع نمرات 29 نفر
$\frac{287/5}{29}=9/91$ میانگین